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2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4学案:第二讲 一 1. 参数方程的概念 Word版含答案

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曲线的参数方程

1.参数方程的概念

[对应学生用书P15] 1.参数方程的概念 在*面直角坐标系中,曲线上任一点的坐标 x,y 都是某个变数 t(θ,φ,…) ?x=f?t? 的函数:? ①,并且对于每一个 t 的允许值,方程组①所确定的点(x,y) ?y=g?t? 都在这条曲线上,那么方程组①就叫这条曲线的参数方程,t 叫做参数,相对于 参数方程而言,直接给出坐标间关系的方程叫普通方程. 2.参数的意义 参数是联系变数 x,y 的桥梁,可以是有物理意义或几何意义的变数,也可 以是没有明显实际意义的变数.

[对应学生用书P15]

参数方程表示的曲线上的点 [例 1] ?x=3t 已知曲线 C 的参数方程是? (t 为参数). 2 ?y=2t +1

(1)判断点 M1(0,1),M2(5,4)与曲线 C 的位置关系. (2)已知点 M3(6,a)在曲线 C 上,求 a 的值. [思路点拨] 由参数方程的概念,只需判断对应于点的参数是否存在即可,

若存在,说明点在曲线上,否则不在曲线上.

[解]

?0=3t, (1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组,得:? 2 ?1=2t +1.

解得:t=0.∴点 M1 在曲线 C 上. 同理:可知点 M2 不在曲线 C 上. ?6=3t, (2)∵点 M3(6,a)在曲线 C 上,∴? 2 ?a=2t +1. 解得:t=2,a=9. ∴a=9.

参数方程是曲线方程的另一种表达形式,点与曲线位置关系的判断,与*面 直角坐标方程下的判断方法是一致的.

1 ? ?x=t+ , t 1.已知点 M(2,-2)在曲线 C:? ? ?y=-2 t 的值为________. 1 解析:由 t+ t =2 知 t=1. 答案:1

(t 为参数)上,则其对应的参数

?x=1+2t, 2.已知某条曲线 C 的参数方程为? (其中 t 为参数,a∈R).点 2 ?y=at M(5,4)在该曲线上,求常数 a. 解:∵点 M(5,4)在曲线 C 上, ?5=1+2t, ?t=2, ? ∴? 解得: 2 ?4=at , ?a=1. ∴a 的值为 1.

求曲线的参数方程

[例 2]

如图,△ABP 是等腰直角三角形,∠B 是直角,

腰长为 a,顶点 B、A 分别在 x 轴、y 轴上滑动,求点 P 在第一象限的轨迹的参 数方程. [思路点拨] 此类问题关键是参数的选取.本例中由于 A、B 的滑动而引起

点 P 的运动,故可以 OB 的长为参数,或以角为参数,不妨取 BP 与 x 轴正向夹 角为参数来求解. [解] 法一:设 P 点的坐标为(x,y),过 P 点作 x 轴的垂

线交 x 轴于 Q.如图所示,则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB=t,t 为参数(0<t<a). ∵|OA|= a2-t2, ∴|BQ|= a2-t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 ?x=t+ a2-t2, ? (0<t<a). ?y=t, 法二:设点 P 的坐标为(x,y),过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q,如图所示. 取∠QBP=θ, π? ? θ 为参数?0<θ<2?, ? ? π 则∠ABO=2-θ. 在 Rt△OAB 中, ?π ? |OB|=acos?2-θ?=asin θ. ? ? 在 Rt△QBP 中, |BQ|=acos θ,|PQ|=asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 ?x=a?sin θ+cos θ?, ? π? ? ?θ为参数,0<θ<2?. ? ? ?y=asin θ.

求曲线参数方程的主要步骤

第一步,画出轨迹草图,设 M(x,y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注 意根据几何条件选择点的位置,以利于发现变量之间的关系. 第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点 的坐标 x,y 与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是 x,y 的值可以由参数 唯一确定.例如,在研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时, 通常选旋转角为参数. 此外, 离某一定点的“有向距离”、 直线的倾斜角、 斜率、 截距等也常常被选为参数. 第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐 标与参数的函数关系式,证明可以省略.

π 3.设质点沿以原点为圆心,半径为 2 的圆作匀角速度运动,角速度为60 rad/s,试以时间 t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程. 解:如图,运动开始时质点位于点 A 处,此时 t=0,设动点 ?x=2cos θ, M(x,y)对应时刻 t,由图可知:? ?y=2sin θ, π 又 θ=60· t, π ? ?x=2cos60t, 故参数方程为:? π ?y=2sin60t. ?

[对应学生用书P16] 一、选择题 1.下列方程可以作为 x 轴的参数方程是( )

2 ?x=t +1 ? A. ?y=0

?x=0 B.? ?y=3t+1 ?x=4t+1 D.? ?y=0

?x=1+sin θ C.? ?y=0

解析:x 轴上的点横坐标可取任意实数,纵坐标为 0. 答案:D t ? ?x= , 2 2.若点 P(4,a)在曲线? ? ?y=2 t A.4 C.8

(t 为参数)上,则 a 等于(

)

B.4 2 D.1 ?t=8, ?? ?a=4 2.

t ? ?4= , 解析:根据题意,将点 P 坐标代入曲线方程中得? 2 ? ?a=2 t 答案:B

?x=sin θ, 3.在方程? (θ 为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ?y=cos 2θ A.(2,-7) 1 1 C.(2,2) 1 2 B.(3,3) D.(1,0)

)

解析:将点的坐标代入参数方程,若能求出 θ,则点在曲线上,经检验,知 C 满足条件. 答案:C 4. 由方程 x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨 迹方程为( ?x=2t A.? ?y=t ?x=2t C.? ?y=-t ) ?x=-2t B.? ?y=t ?x=-2t D.? ?y=-t

解析:设(x,y)为所求轨迹上任一点.

由 x2+y2-4tx-2ty+3t2-4=0 得: (x-2t)2+(y-t)2=4+2t2. ?x=2t ∴? . ?y=t 答案:A 二、填空题 ?x=2sin θ+1, 5.已知曲线? (θ 为参数,0≤θ<2π). ?y=sin θ+3 下列各点 A(1,3),B(2,2),C(-3,5),其中在曲线上的点是________. 解析:将 A 点坐标代入方程得:θ=0 或 π,将 B、C 点坐标代入方程,方程 无解,故 A 点在曲线上. 答案:A(1,3) 6.下列各参数方程与方程 xy=1 表示相同曲线的序号是________.
2 ?x=t ?x=sin t ?x=cos t ?x=tan t ①? ;③? ;④? . 2 ;②? ?y=-t ?y=csc t ?y=sec t ?y=cot t

解析: 普通方程中, x, y 均为不等于 0 的实数, 而①②③中 x 的取值依次为: [0,+∞),[-1,1],[-1,1],故①②③均不正确,而④中,x∈R,y∈R,且 xy =1,故④正确. 答案:④ 7.动点 M 作匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12, 运动开始时, 点 M 位于 A(1,1), 则点 M 的参数方程为________________________. 解析:设 M(x,y), 则在 x 轴上的位移为:x=1+9t, 在 y 轴上的位移为 y=1+12t. ?x=1+9t, ∴参数方程为:? . ?y=1+12t. ?x=1+9t 答案:? ?y=1+12t 三、解答题 8.已知动圆 x2+y2-2axcos θ-2bysin θ=0(a,b 是正常数,且 a≠b,θ 为

参数),求圆心的轨迹方程. 解:设 P(x,y)为所求轨迹上任一点. 由 x2+y2-2axcos θ-2bysin θ=0 得: (x-acos θ)2+(y-bsin θ)2=a2cos2θ+b2sin2θ ?x=acos θ, ∴? ?y=bsin θ. 这就是所求的轨迹方程. 9.如图所示,OA 是圆 C 的直径,且 OA=2a,射线 OB 与 圆交于 Q 点,和经过 A 点的切线交于 B 点,作 PQ⊥OA,PB ∥OA,试求点 P 的轨迹方程. 解:设 P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ, 由 PQ⊥OA,PB∥OA,得 x=OD=OQcos θ=OAcos2θ=2acos2θ, y=AB=OAtan θ=2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为
2 ?x=2acos θ, ? π π? ? θ∈?-2,2?. ? ? ?y=2atan θ,

y2 10.试确定过 M(0,1)作椭圆 x2+ 4 =1 的弦的中点的轨迹方程. 解:设过 M(0,1)的弦所在的直线方程为 y=kx+1,其与椭圆的交点为(x1, y1)和(x2,y2). 设中点 P(x,y),则有: x= x1+x2 y1+y2 , y = 2 2 . 得:(k2+4)y2-8y+4-4k2=0.

y=kx+1, ? ? 由? 2 y2 x + 4 =1 ? ?

-2k 8 ∴x1+x2= 2 ,y1+y2= 2 . k +4 k +4

k ? x=- 2 , ? k +4 ∴? 4 ? ?y=k2+4. 这就是以动弦斜率 k 为参数的动弦中点的轨迹方程.




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