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2018年成都市成华区八年级下期中数学试卷及答案

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四川省成都市成华区八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分)
1.等腰三角形的顶角为 100°,则它的一个底角是( A.40° B.50° C.60° D.80° 2.如果 a>b,那么下列各式中正确的是( A.a﹣5<b﹣5 B. < ) )

C.a+5<b+5 D.﹣3a<﹣3b )

3.下列分解因式正确的是( A.2x2+4xy=x(2x+4y)

B.4a2﹣4ab+b2=2(a﹣b)2

C.x3﹣x=x(x2﹣1) D.3x2﹣5xy+x=x(3x﹣5y) 4.不等式组: A. 的解集在数轴上可表示为( B. C. ) D. )

5.如图, 直线 y=kx+b 交坐标轴于 A(﹣2, 0) 、B(0, 3)两点, 则不等式 kx+b>0 的解集是 (

A.x>﹣2

B.x>3 C.x<﹣2

D.x<3 )
2

6.下列各式不能用*方差公式法分解因式的是( A.x ﹣4 B.﹣x ﹣y +2xy C.m n ﹣1
2 2 2 2 2

D.a ﹣4b

2

7.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.如图,在以 BC 为底边的等腰△ABC 中,∠A=30°,AC=8,则 AC 边上的高 BD 的长是( )

1

A.4

B.8

C.2

D.4

9.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边 的距离相等,凉亭的位置应选在( )

A.△ABC 的三条中线的交点

B.△ABC 三边的中垂线的交点

C.△ABC 三条角*分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 10.如图,在 ABC 中,∠C=90°,AD 是∠A 角*分线,DE⊥AB 于点 E,CD=3,BC=8,则 BE=( )

A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分)
11.已知 a=2,x+2y=3,则 3ax+6ay= . . 12.已知等腰三角形有两条边的长度分别是 3 和 6,那么这个等腰三角形的周长是

13.如图,在△ABC 中,AB=6cm,AC=4cm,BD *分∠ABC,CD *分∠ACB,EF 过点 D 且 EF∥BC,则 △AEF 的周长是 cm.

14.如图,在△ABC 中,∠C=35°,AB=AD,DE 是 AC 的垂直*分线,则∠BAD=

度.

15.小马用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件,已知每本笔记本 2 元,每支钢笔 5 元,那么小 马最多能买支 钢笔.

2

三、解答题(共 5 小题,满分 50 分)
16.分解因式: (1)2x2﹣18 (2)﹣3m+6m2﹣3m3. 17.(1)求不等式 ﹣ ≤1 的解集.

(2)解不等式组 负整数解.

,把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非

18.如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)画出△ABC 向左*移 5 个单位长度后得到的△A1B1C1; (2)请画出△ABC 关于原点对称的△A2B2C2,并写出点 A2、B2、C2 坐标; (3)请画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后△A3B3C3,并写出点 A3、B3、C3 坐标.

19. (8 分)学校需要采购一批演出服装,A、B 两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解: 两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即男装每套 120 元,女装每套 100 元.经洽谈 协商:A 公司给出的优惠条件是,全部服装按单价打七折,但校方需承担 2200 元的运费;B 公司的 优惠条件是男女装均按每套 100 元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的 女生人数应是男生人数的 2 倍少 100 人,如果设参加演出的男生有 x 人. (1)分别写出学校购买 A、B 两公司服装所付的总费用 y1(元)和 y2(元)与参演男生人数 x 之间 的函数关系式; (2)问:该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算?请说明理由. 20.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∠BAC 的*分线 AE 交 BC 于点 D,且 AE⊥BE. (1)求∠DBE 的大小; (2)求证:AD=2BE.

3

四、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分)
21.分解因式:16a2﹣(a2+4)2= 22.已知关于 x 的不等式组 . 的整数解有 5 个,则 a 的取值范围是 .

23.将一箱苹果分给若干个小朋友,若每位小朋友分 5 个苹果,则还剩 12 个苹果;若每位小朋友 分 8 个苹果, 则有一个小朋友能分到不足 5 个苹果. 这一箱苹果的个数是 , 小朋友的人数是 . ) ,

24. 如图, 在*面直角坐标系中, Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上, 顶点 B 的坐标为 (3, 点 C 的坐标为( ,0),点 P 为斜边 OB 上的一动点,则 PA+PC 的最小值为 .

25.如图,在四个正方形拼接成的图形中,以 A1、A2、A3、…、A10 这十个点中任意三点为顶点,共 能组成 个等腰直角三角形.

五、解答题(共 3 小题,满分 30 分)
26.某工厂有甲种原料 360kg,乙种原料 290kg,计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件, 已知生产一件 A 种产品,需用甲种原料 9kg,乙种原料 3kg,可获利润 700 元;生产一件 B 种产品, 需用甲种原料 4kg,乙种原料 10kg,可获利润 1200 元. (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来; (2) 设生产 A、 B 两种产品总利润是 W (元) , 采用哪种生产方案获总利润最大?最大利润为多少? 27.如图,点 A 的坐标是(﹣2,0),点 B 的坐标是(6,0),点 C 在第一象限内且△OBC 为等边 三角形,直线 BC 交 y 轴于点 D,过点 A 作直线 AE⊥BD,垂足为 E,交 OC 于点 F. (1)求直线 BD 的函数表达式;
4

(2)求线段 OF 的长; (3)连接 BF,OE,试判断线段 BF 和 OE 的数量关系,并说明理由.

28.如图,在*面直角坐标系中,已知点 A(0,2),△AOB 为等边三角形,P 是 x 轴上一个动点 (不与原 O 重合),以线段 AP 为一边在其右侧作等边三角形△APQ. (1)求点 B 的坐标; (2)在点 P 的运动过程中,∠ABQ 的大小是否发生改变?如不改变,求出其大小;如改变,请说 明理由. (3)连接 OQ,当 OQ∥AB 时,求 P 点的坐标.

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2015-2016 学年四川省成都市成华区八年级(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分)
1.等腰三角形的顶角为 100°,则它的一个底角是( A.40° B.50° C.60° D.80° 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论. 【解答】解:∵一个等腰三角形的顶角为 100°, ∴它的底角= 故选 A. 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键. =40°. )

2.如果 a>b,那么下列各式中正确的是( A.a﹣5<b﹣5 B. <



C.a+5<b+5 D.﹣3a<﹣3b

【考点】不等式的性质. 【分析】依据不等式的基本性质解答即可. 【解答】解:A、依据不等式的性质 1 可知 A 错误; B、由不等式的性质 2 可知 B 错误; C、依据不等式的性质 1 可知 C 错误; D、由不等式的性质 3 可知 D 正确. 故选:D. 【点评】本题主要考查的是不等式的基本性质,掌握不等式的基本性质是解题的关键.

3.下列分解因式正确的是( A.2x2+4xy=x(2x+4y)
3 2



B.4a2﹣4ab+b2=2(a﹣b)2
2

C.x ﹣x=x(x ﹣1) D.3x ﹣5xy+x=x(3x﹣5y) 【考点】因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法. 【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式,进而判断得出答案. 【解答】解:A、2x2+4xy=2x(x+2y),故此选项错误; B、4a2﹣4ab+b2=2(a﹣b)2,正确; C、x3﹣x=x(x2﹣1)=x(x+1)(x﹣1),故此选项错误; D、3x ﹣5xy+x=x(3x﹣5y+1),故此选项错误;
6
2

故选:B. 【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式, 正确运用公式法分解因式是解题关键.

4.不等式组: A.

的解集在数轴上可表示为( B. C.

) D.

【考点】在数轴上表示不等式的解集. 【分析】在表示数轴时,实心圆点包括该点,空心圆圈不包括该点,大于向右小于向左.而它们相 交的地方加上阴影即为不等式的解集在数轴上的表示. 【解答】解:两个不等式的公共部分是在数轴上,5 以及 5 右边的部分,因而解集可表示为: 故选 D.

【点评】注意不等式组解的解集在数轴上的表示方法,当包括原数时,在数轴上表示应用实心圆点 表示方法,当不包括原数时应用空心圆圈来表示.

5.如图, 直线 y=kx+b 交坐标轴于 A(﹣2, 0) 、B(0, 3)两点, 则不等式 kx+b>0 的解集是 (



A.x>﹣2

B.x>3 C.x<﹣2

D.x<3

【考点】一次函数与一元一次不等式. 【分析】根据图象可得出不等式 kx+b>0 的解集就是 y=kx+b 的图象在 x 轴上方部分横坐标所构成 的集合. 【解答】解:∵A(﹣2,0), ∴不等式 kx+b>0 的解集是 x>﹣2, 故选:A. 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式,关键是掌握从函数图象的角度看,就是确定 直线 y=kx+b 在 x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

6.下列各式不能用*方差公式法分解因式的是( A.x ﹣4 B.﹣x ﹣y +2xy C.m n ﹣1 【考点】因式分解-运用公式法.
7
2 2 2 2 2


2

D.a ﹣4b

2

【专题】计算题;整式. 【分析】利用*方差公式的结构特征判断即可. 【解答】解:各式不能用*方差公式法分解因式的是﹣x2﹣y2+2xy=﹣(x﹣y)2, 故选 B. 【点评】此题考查了因式分解运用公式法,熟练掌握*方差公式是解本题的关键.

7.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:第一个图形是轴对称图形,是中心对称图形; 第二个图形是轴对称图形,不是中心对称图形; 第三个图形是轴对称图形,是中心对称图形; 第四个图形是轴对称图形,是中心对称图形. 共有 3 个图形既是轴对称图形,也是中心对称图形, 故选 C. 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形 两部分沿对称轴折叠后可重合;判断中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合.

8.如图,在以 BC 为底边的等腰△ABC 中,∠A=30°,AC=8,则 AC 边上的高 BD 的长是(



A.4

B.8

C.2

D.4

【考点】含 30 度角的直角三角形;等腰三角形的性质. 【分析】求出 AB,根据含 30°角直角三角形性质得出 BD= AB,代入求出即可. 【解答】解:∵AB=AC,AC=8, ∴AB=8, ∵BD 是高, ∴∠BDA=90°,
8

∵∠A=30°, ∴BD= AB=4, 故选 A. 【点评】本题考查了含 30°角直角三角形性质和等腰三角形的性质的应用,能求出 BD= AB 是解 此题的关键.

9.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边 的距离相等,凉亭的位置应选在( )

A.△ABC 的三条中线的交点

B.△ABC 三边的中垂线的交点

C.△ABC 三条角*分线的交点 D.△ABC 三条高所在直线的交点 【考点】角*分线的性质. 【专题】应用题. 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等,所以根据角*分线上的点到边的距离相等,可知是△ ABC 三条角*分线的交点.由此即可确定凉亭位置. 【解答】解:∵凉亭到草坪三条边的距离相等, ∴凉亭选择△ABC 三条角*分线的交点. 故选 C. 【点评】本题主要考查的是角的*分线的性质在实际生活中的应用.主要利用了到线段的两个端点 的距离相等的点在这条线段的垂直*分线上.

10.如图,在 ABC 中,∠C=90°,AD 是∠A 角*分线,DE⊥AB 于点 E,CD=3,BC=8,则 BE=(



A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】角*分线的性质. 【分析】根据角*分线上的点到角两边的距离相等可得到 DE=DC=3,根据勾股定理解答即可.
9

【解答】解:∵DE⊥AB 于 E,CD=3, ∵AD 是角*分线,DE⊥AB,∠C=90°, ∴DE=DC=3, ∴BD=8﹣3=5. ∴BE= 故选 B 【点评】此题主要考查角*分线的性质的综合运用,关键是根据角*分线上的点到角两边的距离相 等可得到 DE=DC. =4,

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分)
11.已知 a=2,x+2y=3,则 3ax+6ay= 18 . 【考点】因式分解-提公因式法. 【专题】计算题;因式分解. 【分析】原式提取公因式,将已知等式代入计算即可求出值. 【解答】解:∵a=2,x+2y=3, ∴原式=3a(x+2y)=18, 故答案为:18 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.

12.已知等腰三角形有两条边的长度分别是 3 和 6,那么这个等腰三角形的周长是 15 . 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【专题】压轴题. 【分析】因为已知长度为 3 和 6 两边,没由明确是底边还是腰,所以有两种情况,需要分类讨论. 【解答】解:当 3 为底时,其它两边都为 6, 3、6、6 可以构成三角形, 周长为 15; 当 3 为腰时, 其它两边为 3 和 6, ∵3+3=6=6,所以不能构成三角形,故舍去, ∴答案只有 15. 故填 15. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系; 已知没有明确腰和底边的题目一定要 想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也 是解题的关键.

10

13.如图,在△ABC 中,AB=6cm,AC=4cm,BD *分∠ABC,CD *分∠ACB,EF 过点 D 且 EF∥BC,则 △AEF 的周长是 10 cm.

【考点】等腰三角形的判定与性质;*行线的性质. 【分析】根据两直线*行,内错角相等,以及根据角*分线性质,可得△FOC、△EOB 均为等腰三 角形,由此把△AEF 的周长转化为 AC+AB. 【解答】解:∵EF∥BC ∴∠OCB=∠COF,∠OBC=∠BOE 又 BO、CO 分别是∠BAC 和∠ACB 的角*分线 ∴∠COF=∠FCO,∠BOE=∠OBE ∴OF=CF,OE=BE ∴△AEF 的周长=AF+OF+OE+AE=AF+CF+BE+AE=AB+AC=10. 故答案为:10. 【点评】本题考查了*行线的性质和等腰三角形的判定及性质;对相等的线段进行有效的等量代换 是解答本题的关键.

14.如图,在△ABC 中,∠C=35°,AB=AD,DE 是 AC 的垂直*分线,则∠BAD=

40 度.

【考点】线段垂直*分线的性质. 【分析】根据线段的垂直*分线的性质得到 DA=DC,根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求 出∠ADB 的度数,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可. 【解答】解:∵DE 是 AC 的垂直*分线, ∴DA=DC, ∴∠DAC=∠C=35°, ∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°, ∵AB=AD, ∴∠B=∠ADB=70°, ∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=40°, 故答案为:40.
11

【点评】本题考查的是线段的垂直*分线的性质和等腰三角形的性质, 掌握线段的垂直*分线上的 点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

15.小马用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件,已知每本笔记本 2 元,每支钢笔 5 元,那么小 马最多能买支 13 钢笔. 【考点】一元一次不等式的应用. 【专题】方程与不等式. 【分析】根据题意可以列出相应的不等式,从而可以得到小马最多购买多少支钢笔. 【解答】解:设小马能买 x 支钢笔,则可购买(30﹣x)本笔记本. 2(30﹣x)+5x≤100, 解得,x≤ ,

∵购买的钢笔为整数, ∴最多购买钢笔 13 支, 故答案为:13. 【点评】本题考查一元一次不等式的应用,解题的关键是明确题意,列出相应的不等式.

三、解答题(共 5 小题,满分 50 分)
16.(10 分)(2016 春?成华区期中)分解因式: (1)2x2﹣18 (2)﹣3m+6m2﹣3m3. 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】(1)先提取公因式,再用*方差公式分解即可; (2)先提取公因式,再用完全*方公式分解即可. 【解答】解:(1)2x2﹣18=2(x2﹣9)=2(x+3)(x﹣3), (2)﹣3m+6m ﹣3m =﹣3m(1﹣2m+m )=﹣3m(m﹣1) , 【点评】此题是提取公因式与公式法综合运用,主要考查了,提取公因式,*方差公式,完全*方 公式分解因式的方法,解本题的关键是选用方法分解因式.
2 3 2 2

17.(14 分)(2016 春?成华区期中)(1)求不等式



≤1 的解集.

(2)解不等式组 负整数解.

,把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非

【考点】一元一次不等式组的整数解;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式;解一元一 次不等式组.
12

【分析】(1)根据不等式的解法计算即可; (2)分别计算出两个不等式的解集,再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可,再找出解 集范围内的非负整数即可. 【解答】解:(1)3(2x﹣1)﹣(x+1)≤6, 6x﹣3﹣x﹣1≤6, 5x≤10, x≤2; (2)解不等式①得:x≥﹣1, 解不等式②得:x<3, 所以不等式组的解集为:﹣1≤x<3, 所以非负整数解为:0,1,2. 在数轴上表示为: 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组,解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等 式的解集, 然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求 得不等式组的整数解.

18.如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4). (1)画出△ABC 向左*移 5 个单位长度后得到的△A1B1C1; (2)请画出△ABC 关于原点对称的△A2B2C2,并写出点 A2、B2、C2 坐标; (3)请画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后△A3B3C3,并写出点 A3、B3、C3 坐标.

【考点】作图-旋转变换;作图-*移变换. 【专题】作图题. 【分析】(1)根据网格特点和*移的性质画出点 A、B、C 的对应点 A1、B1、C1,则可得到△A1B1C1; (2)利用关于原点对称的点的坐标特征,写出点 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2 的坐标,然后描点 即可得到△A2B2C2; (3)利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B、C 的对应点 A3、B3、C3,然后写出点 A3、B3、C3 坐标,
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则可得到△A3B3C3. 【解答】解:(1)如图,△A1B1C1 为所作; (2)如图,△A2B2C2 为所作,点 A2、B2、C2 坐标分别为((﹣1,﹣1),(﹣4,﹣2),(﹣3,﹣ 4); (3)如图,△A3B3C3 为所作,点 A3、B3、C3 坐标分别为(﹣1,1),(﹣2,4),(﹣4,3).

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线 段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接 得出旋转后的图形.也考查了*移变换.

19.学校需要采购一批演出服装,A、B 两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:两家 公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同, 即男装每套 120 元, 女装每套 100 元. 经洽谈协商: A 公司给出的优惠条件是,全部服装按单价打七折,但校方需承担 2200 元的运费;B 公司的优惠条 件是男女装均按每套 100 元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的女生人 数应是男生人数的 2 倍少 100 人,如果设参加演出的男生有 x 人. (1)分别写出学校购买 A、B 两公司服装所付的总费用 y1(元)和 y2(元)与参演男生人数 x 之间 的函数关系式; (2)问:该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算?请说明理由. 【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分 别表示出 y1(元)和 y2(元)与男生人数 x 之间的函数关系式; (2)根据条件可以知道购买服装的费用受 x 的变化而变化,分情况讨论:当 y1>y2 时,当 y1=y2 时, 当 y1<y2 时,求出 x 的范围就可以求出结论. 【解答】解:(1)总费用 y1(元)和 y2(元)与参演男生人数 x 之间的函数关系式分别是: y1=0.7[120x+100(2x﹣100)]+2200=224x﹣4800, y2=0.8[100(3x﹣100)]=240x﹣8000;

(2)由题意,得
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当 y1>y2 时,即 224x﹣4800>240x﹣8000,解得:x<200 当 y1=y2 时,即 224x﹣4800=240x﹣8000,解得:x=200 当 y1<y2 时,即 224x﹣4800<240x﹣8000,解得:x>200 答:当参演男生少于 200 人时,购买 B 公司的服装比较合算; 当参演男生等于 200 人时,购买两家公司的服装总费用相同,可任一家公司购买; 当参演男生多于 200 人时,购买 A 公司的服装比较合算. 【点评】本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用,运用不等式求设计方案的运用,解答本 题时根据数量关系求出解析式是关键,建立不等式计算优惠方案是难点.

20.(10 分)(2016 春?成华区期中)如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,∠BAC 的*分线 AE 交 BC 于点 D,且 AE⊥BE. (1)求∠DBE 的大小; (2)求证:AD=2BE.

【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形. 【分析】(1)求出∠CAD,再证明∠DBE=∠CAD 即可. (2)先证明△AEB≌△AEG,推出 BE=EG,再证明△ACD≌△BCG,推出 AD=BG,由此即可证明. 【解答】解:(1)∵∠C=90°,AC=BC, ∴∠BAC=45°, ∵AE 是∠BAC 的*分线, ∴∠CAD= ∠BAC=22.5°, ∵AE⊥BE, ∴∠BED=90°, ∴∠ACD=∠BED=90°,∵∠ADC=∠BDE, ∴∠DBE=∠CAD=22.5°.

(2)延长 AC、BE 交于点 G. ∵AE⊥BG, ∴∠AEB=∠AEG=90°, 在△AEB 和△AEG 中,

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, ∴△AEB≌△AEG, ∴BE=EG, 在△ACD 和△BCG 中, , ∴△ACD≌△BCG, ∴AD=BG=2BE, ∴AD=2BE.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质.等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常 用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

四、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分)
21.分解因式:16a ﹣(a +4) = ﹣(a+2) (a﹣2) 【考点】因式分解-运用公式法. 【专题】计算题. 【分析】原式利用*方差公式化简,再利用完全*方公式分解即可. 【解答】解:原式=(4a+a2+4)(4a﹣a2﹣4)=﹣(a+2)2(a﹣2)2. 故答案为:﹣(a+2)2(a﹣2)2 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握公式是解本题的关键.
2 2 2 2 2



22.已知关于 x 的不等式组 【考点】一元一次不等式组的整数解. 【专题】计算题.

的整数解有 5 个,则 a 的取值范围是 ﹣4<a≤﹣3 .

【分析】首先确定不等式组的解集,先利用含 a 的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些 整数解,根据解的情况可以得到关于 a 的不等式,从而求出 a 的范围. 【解答】解:解不等式①得 x≥a, 解不等式②得 x<2,
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因为不等式组有 5 个整数解,则这 5 个整数是 1,0,﹣1,﹣2,﹣3, 所以 a 的取值范围是﹣4<a≤﹣3. 【点评】正确解出不等式组的解集,确定 a 的范围,是解决本题的关键.求不等式组的解集,应遵 循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.

23.将一箱苹果分给若干个小朋友,若每位小朋友分 5 个苹果,则还剩 12 个苹果;若每位小朋友 分 8 个苹果,则有一个小朋友能分到不足 5 个苹果.这一箱苹果的个数是 37 5 . 【考点】一元一次不等式组的应用. 【分析】设小朋友为 x 人,根据每位小朋友分 5 个苹果,则还剩 12 个苹果,表示出苹果的个数, 再由每位小朋友分 8 个苹果,根据人数为 x 人,用总苹果数减去前 x﹣1 人、每人 8 个所分的苹果 数,即为最后一名小朋友分到的苹果数,再利用最后一位小朋友分到了苹果,但不足 5 个列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集,在解集中找出正整数解得到 x 的值,即为小朋友的人数,即可得 到一箱苹果的个数. 【解答】解:设有 x 位小朋友,则苹果为(5x+12)个, 依题意得:0<5x+12﹣8(x﹣1)<5, 可化为: 解得:5<x< ∵x 是正整数, ∴x=6, 当 x=6 时,5x+12=42; ∴这一箱苹果有 42 个,小朋友有 6 位, 故答案为:42,6. 【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用,其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数 是解本题的关键. , , ,小朋友的人数是

24. 如图, 在*面直角坐标系中, Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上, 顶点 B 的坐标为 (3, 点 C 的坐标为( ,0),点 P 为斜边 OB 上的一动点,则 PA+PC 的最小值为 .

) ,

【考点】轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
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【专题】计算题. 【分析】作 A 关于 OB 的对称点 D,连接 CD 交 OB 于 P,连接 AP,过 D 作 DN⊥OA 于 N,则此时 PA+PC 的值最小,求出 AM,求出 AD,求出 DN、CN,根据勾股定理求出 CD,即可得出答案. 【解答】解:作 A 关于 OB 的对称点 D,连接 CD 交 OB 于 P,连接 AP,过 D 作 DN⊥OA 于 N,则此时 PA+PC 的值最小, ∵DP=PA, ∴PA+PC=PD+PC=CD, ∵B(3, ∴AB= ), ,

,OA=3,∠B=60°,由勾股定理得:OB=2

由三角形面积公式得: ×OA×AB= ×OB×AM, ∴AM= , ∴AD=2× =3, ∵∠AMB=90°,∠B=60°, ∴∠BAM=30°, ∵∠BAO=90°, ∴∠OAM=60°, ∵DN⊥OA, ∴∠NDA=30°, ∴AN= AD= ,由勾股定理得:DN= ∵C( ,0), ∴CN=3﹣ ﹣ =1, 在 Rt△DNC 中,由勾股定理得:DC= 即 PA+PC 的最小值是 故答案为: . . = , ,

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【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题,三角形的内角和定理,勾股定理,含 30 度角的直角 三角形性质的应用,关键是求出 P 点的位置,题目比较好,难度适中.

25.如图,在四个正方形拼接成的图形中,以 A1、A2、A3、…、A10 这十个点中任意三点为顶点,共 能组成 32 个等腰直角三角形.

【考点】等腰直角三角形. 【分析】分别找出以各角为直角顶点的等腰直角三角形的个数,再求出其和即可. 【解答】解:以 A1 为直角顶点的等腰直角三角形有 2 个,以 A2 为直角顶点的等腰直角三角形有 1 个, 以 A3 为直角顶点的等腰直角三角形有 4 个,以 A4 为直角顶点的等腰直角三角形有 4 个, 以 A5 为直角顶点的等腰直角三角形有 1 个,以 A6 为直角顶点的等腰直角三角形有 2 个, 以 A7 为直角顶点的等腰直角三角形有 6 个,以 A8 为直角顶点的等腰直角三角形有 3 个, 以 A9 为直角顶点的等腰直角三角形有 3 个,以 A10 为直角顶点的等腰直角三角形有 6 个, 则共能组成 2+1+4+4+1+2+6+3+3+6=32 个等腰直角三角形. 故答案为:32. 【点评】此题考查了等腰直角三角形,用到的知识点是正方形的性质及等腰直角三角形的判定,关 键是找出所有的等腰直角三角形.

五、解答题(共 3 小题,满分 30 分)
26.某工厂有甲种原料 360kg,乙种原料 290kg,计划用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件, 已知生产一件 A 种产品,需用甲种原料 9kg,乙种原料 3kg,可获利润 700 元;生产一件 B 种产品, 需用甲种原料 4kg,乙种原料 10kg,可获利润 1200 元. (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来; (2) 设生产 A、 B 两种产品总利润是 W (元) , 采用哪种生产方案获总利润最大?最大利润为多少? 【考点】一次函数的应用;一元一次不等式组的应用. 【分析】(1)本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过 360 千克,乙种原料不超过 290 千 克,然后列出不等式组并求出它的解集.由此可确定出具体方案. (2)根据题意列出 w 与 x 之间的函数关系式,利用一次函数的增减性和(1)得到的取值范围即可 求得最大利润. 【解答】解:(1)设安排生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(50﹣x)件,

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根据题意有: 解得:30≤x≤32, ∵x 为整数, ∴x30,31,32,



所以有三种方案:①安排 A 种产品 30 件,B 种产品 20 件; ②安排 A 种产品 31 件,B 种产品 19 件; ③安排 A 种产品 32 件,B 种产品 18 件.

(2)设安排生产 A 种产品 x 件, 那么利润为:w=700x+1200(50﹣x)=﹣500x+60000, ∵k=﹣500<0, ∴y 随 x 的增大而减小, ∴当 x=30 时,对应方案的利润最大,y=﹣500×30+60000=45000,最大利润为 45000 元. ∴采用方案①所获利润最大,为 45000 元. 【点评】本题考查一次函数的应用,一元一次不等式组的应用及最大利润问题;得到两种原料的关 系式及总利润的等量关系是解决本题的关键.

27.(10 分)(2013?济南)如图,点 A 的坐标是(﹣2,0),点 B 的坐标是(6,0),点 C 在第 一象限内且△OBC 为等边三角形,直线 BC 交 y 轴于点 D,过点 A 作直线 AE⊥BD,垂足为 E,交 OC 于点 F. (1)求直线 BD 的函数表达式; (2)求线段 OF 的长; (3)连接 BF,OE,试判断线段 BF 和 OE 的数量关系,并说明理由.

【考点】一次函数综合题. 【专题】综合题. 【分析】(1)根据△OBC 是等边三角形,可得∠OBC=60°,在 Rt△PBD 中,解得 OD 的长度,得出 点 D 的坐标,利用待定系数法求出直线 BD 的解析式即可;
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(2)分别求出∠BAE 和∠AFO 的度数,即可得出 OF=OA=2. (3)在 Rt△ABE 中,先求出 BE,继而得出 CE=OF,证明△COE≌△OBF,可得 BF 和 OE 的数量关系. 【解答】解:(1)∵△OBC 是等边三角形, ∴∠OBC=60°,OC=BC=OB, ∵点 B 的坐标为(6,0), ∴OB=6, 在 Rt△OBD 中,∠OBC=60°,OB=6, ∴∠ODB=30°, ∴BD=12, ∴OD= =6 , ), ,

∴点 D 的坐标为(0,6

设直线 BD 的解析式为 y=kx+b,则可得

解得:

, x+6 .

∴直线 BD 的函数解析式为 y=﹣

(2)∵∠OCB=60°,∠CEF=90°, ∴∠CFE=30°, ∴∠AFO=30°(对顶角相等), 又∵∠OBC=60°,∠AEB=90°, ∴∠BAE=30°, ∴∠BAE=∠AFO, ∴OF=OA=2.

(3)连接 BF,OE,如图所示: ∵A(﹣2,0),B(6,0), ∴AB=8, 在 Rt△ABE 中,∠ABE=60°,AB=8, ∴BE= AB=4, ∴CE=BC﹣BE=2, ∴OF=CE=2, 在△COE 和△OBF 中, ,

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∴△COE≌△OBF(SAS), ∴OE=BF.

【点评】本题考查了一次函数的综合,解答本题的关键是熟练掌握待定系数法及数形结合思想的运 用,对于此类综合性较强的题目,要求同学们具有扎实的基本功,熟练掌握学过的性质定理及常见 解题方法.

28.(12 分)(2016 春?郓城*谥校┤缤迹*面直角坐标系中,已知点 A(0,2),△AOB 为 等边三角形,P 是 x 轴上一个动点(不与原 O 重合),以线段 AP 为一边在其右侧作等边三角形△ APQ. (1)求点 B 的坐标; (2)在点 P 的运动过程中,∠ABQ 的大小是否发生改变?如不改变,求出其大小;如改变,请说 明理由. (3)连接 OQ,当 OQ∥AB 时,求 P 点的坐标.

【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质;等边三角形的性质. 【分析】(1)如图,作辅助线;证明∠BOC=30°,OB=2,借助直角三角形的边角关系即可解决问 题; (2)证明△APO≌△AQB,得到∠ABQ=∠AOP=90°,即可解决问题; (3)根据点 P 在 x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论,再根据全等三角形的性质即可得出结果. 【解答】解:(1)如图 1,过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C, ∵△AOB 为等边三角形,且 OA=2, ∴∠AOB=60°,OB=OA=2, ∴∠BOC=30°,而∠OCB=90°,
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∴BC= OB=1,OC= ∴点 B 的坐标为 B(

, ,1);

(2)∠ABQ=90°,始终不变.理由如下: ∵△APQ、△AOB 均为等边三角形, ∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB, ∴∠PAO=∠QAB, 在△APO 与△AQB 中, , ∴△APO≌△AQB(SAS), ∴∠ABQ=∠AOP=90°;

(3)当点 P 在 x 轴负半轴上时,点 Q 在点 B 的下方, ∵AB∥OQ,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°. 又 OB=OA=2,可求得 BQ= ,

由(2)可知,△APO≌△AQB, ∴OP=BQ= , ,0).

∴此时 P 的坐标为(﹣

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质, 注意利
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用分类讨论得出是解题关键.

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